Här går vi igenom:

• Sannolikhet
• Sannolikhetsberäkningar
• Sannolikhetslärans multiplikationssats

Sannolikheten för en händelse är alltid ett tal mellan noll och ett. Sannolikheten är noll (0) för en händelse som omöjligt kan inträffa. Till exempel kan man aldrig få en åtta när man kastar en vanlig tärning med sex sidor. Någon sida med åtta prickar finns ju inte på tärningen. På motsvarande sätt är sannolikheten lika med ett (1) för en händelse som absolut säkert kommer att inträffa.

En tärning har sex sidor, som alla lika gärna kan hamna uppåt när man kastar tärningen. Hur stor är sannolikheten att det blir en sexa, alltså att sidan med sex prickar hamnar uppåt när man kastar tärningen? Det ger sig ganska naturligt. Av tärningens sex sidor är det en som har sex prickar. Det finns därför en möjlighet på sex att det blir en sexa. Sannolikheten att det blir en sexa blir då en på sex, alltså en sjättedel. Svaret blir 1/6, eller 0,17 avrundat.

Enkel matematisk uträkning

Det enklaste sättet att räkna ut sannolikheten för en händelse är att dividera antalet gynnsamma utfall med antalet möjliga utfall. Vad betyder det?

Exempel med sexa på tärningen

Tärningen har sex sidor som alla kan hamna uppåt. Därför finns det sex möjliga utfall. Av dessa möjliga utfall är det ett som är gynnsamt för sexa. Därför dividerar vi 1 med 6 och får 1/6. Sannolikheten för sexa = 1/6.

Exempel med tärningssida lägre än fyra

Hur stor är sannolikheten att en tärningssida med högst tre prickar hamnar uppåt när man kastar? Det finns sex möjliga utfall. Av dem är tre gynnsamma för händelsen att en sida med en, två eller tre prickar hamnar uppåt. Därför dividerar vi 3 med 6 och får 3/6. Sannolikheten för en tärningssida med högst tre prickar 3/6 = 1/2 = 0,5.

Två tärningskast – tar turen slut?

Hur stor är sannolikheten att det blir en sexa i båda kasten om man gör två tärningskast efter varandra? I första kastet är sannolikheten för sexa lika med 1/6. I andra kastet är situationen densamma, och sannolikheten för sexa är då också densamma. När man kommer till andra kastet spelar det ingen roll hur det gick i första kastet. Sannolikheten för sexa i andra kastet är alltid lika med 1/6, oavsett om det blev en sexa i det första kastet eller inte.

Man skulle kunna tro att om det blev sexa i första kastet så skulle det minska chansen för sexa i andra kastet. Turen skulle så att säga bara räcka till första kastet om det blev sexa då. Eller om det inte blev en sexa då skulle man ha tur andra gången. Men så är det inte. Det andra kastet är en sak för sig oavsett hur det gick i det första kastet. De två kasten är nämligen oberoende händelser.

Sannolikhetslärans multiplikationssats

Nu ska vi ta reda på hur stor sannolikheten är att det blir två sexor på två kast efter varandra. Vi tar hjälp av en grundläggande räknelag för sannolikheter som kallas sannolikhetslärans multiplikationssats. Den handlar om hur man får reda på sannolikheten för att två olika händelser kommer att inträffa.

Räknelagen säger att vi ska multiplicera de båda händelsernas sannolikheter med varandra. Räknelagen gäller bara om de två händelserna är oberoende av varandra och alltså inte kan påverka varandra.

Exempel med två tärningskast

Två tärningskast är inte beroende av varandra och de påverkar inte varandra. Båda händelserna har sannolikheten 1/6. Sannolikheten för att båda tärningskasten ger sexor räknar vi ut med sannolikhetslärans multiplikationssats.

Sannolikheten för sexa i båda kasten blir då (1/6) × (1/6) = 1/36 = 0,028. Det är knappt tre hundradelar, alltså ganska nära noll. Det innebär att det är ganska sällsynt med två sexor i följd.

Sannolikheten är ett mått på hur vanlig en händelse är i det långa loppet. Vi kan tänka oss att vi gång på gång är med om att tärningen kastas två gånger. Med tiden blir det många gånger. I det långa loppet kommer alltså denna händelse att inträffa mindre än tre gånger på hundra.

Exempel med flera tärningskast

Hur stor är sannolikheten att det blir sexa i varje kast om man gör fem kast i följd? Även nu multiplicerar vi ihop händelsernas sannolikheter. Det ger (1/6) × (1/6) × (1/6) × (1/6) × (1/6) = (1/6)5 = 0,00013. Det är bara lite mer än ett på tio tusen. Det här kan man utveckla vidare.

Chansen att vinna

På en skola har eleverna en bokklubb. Två gånger om året lottar man ut böcker till tolv av medlemmarna. Utlottningen görs slumpmässigt bland alla medlemmarna i klubben. Det spelar ingen roll om man vunnit tidigare eller inte.

För enkelhetens skull tänker vi oss att det alltid är 400 elever i klubben. Hur stor är sannolikheten att en elev får åtminstone en vinst om hon eller han är med i klubben i tio år?

Bli utan vinst varje gång

I varje utlottning är det 400-12 = 388 medlemmar som blir utan vinst. Sannolikheten att en elev blir utan vinst i en utlottning blir därför 388/400.
Med sannolikhetslärans multiplikationssats multiplicerar vi de 20 sannolikheterna med varandra (388/400)²⁰ = 0,54. Sannolikheten att personen aldrig vinner = 0,54.

Sannolikheten att vinna minst en gång är (1) minus talet 0,54, alltså 0,46. Det är alltså ungefär lika stor chans för en elev att vinna minst en gång som att inte vinna någon gång.

Räknelagen gäller inte vädret

Exempel på händelser som inte är oberoende av varandra är vädret i dag och vädret i morgon. Är det sol i dag påverkar det möjligheten att det blir sol i morgon. Om högtrycket som ger sol första dagen ligger kvar andra dagen så blir vädret ungefär detsamma de två dagarna. Räknelagen för sannolikheter går inte att använda eftersom värdet en dag påverkas av värdet en annan dag.